Question

4．函数y=$\frac{{x}^{2}-x+6}{{x}^{2}-2x-3}$的值域是（-∞，$-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{6}}{2}，+∞$）．

Answer 1

分析 把原函数解析式变形，化为关于x的方程，讨论二次项系数后利用判别式法求函数的值域．

解答 解：由y=$\frac{{x}^{2}-x+6}{{x}^{2}-2x-3}$，得（y-1）x²-（2y-1）x-（3y+6）=0．
当y=1时，x=-9；
当y≠1，由△=（2y-1）²+4（y-1）（3y+6）=16y²+8y-23≥0，
解得：$y≤-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}$或$y≥-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{6}}{2}$且y≠1．
∴函数y=$\frac{{x}^{2}-x+6}{{x}^{2}-2x-3}$的值域是（-∞，$-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{6}}{2}，+∞$）．
故答案为：（-∞，$-\frac{1}{4}-\frac{\sqrt{6}}{2}$]∪[$-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{6}}{2}，+∞$）．

点评 本题考查函数的值域及其求法，训练了判别式法求函数的值域，是中档题．