Question

9．已知函数g（x）=3^x+a•3^-x，x∈R．

（1）若f（x）是R上的偶函数，求a的值；
（2）若a=0，在给定的坐标系中画出函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+1（x＜0）}\\{-x+2（x≥0）}\end{array}\right.$的图象（不列表）并指出方程g（x）-m=0有两解时m的取值范围；
（3）若a＜0，判断函数f（x）在定义域内的单调性，并加以证明．

Answer 1

分析 （1）若f（x）是R上的偶函数，则f（-x）=f（x）恒成立，即3^-x+a•3^x=3^x+a•3^-x恒成立，解得a值；
（2）通过a=0，化简函数的表达式，可得函数的图象，数形结合可得方程g（x）-m=0有两解时m的取值范围；
（3）利用a＜0，判断函数f（x）在定义域内的单调增函数，利用函数的单调性的定义直接证明即可．

解答 解：（1）∵f（x）是R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）恒成立，
∴3^-x+a•3^x=3^x+a•3^-x恒成立，
∴（a-1）（3^x-3^-x）=0恒成立，
∴a-1=0，
解得：a=1；
（2）若a=0，则函数g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3}^{x}+1（x＜0）\\-x+2（x≥0）\end{array}\right.$，其图象如下图所示：

若方程g（x）-m=0有两解，则函数g（x）的图象与直线y=m有两个交点，
由图可得：m∈（1，2）；
（3）若a＜0，则函数f（x）在定义域R内的单调增减，理由如下：
任取任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，
则0＜3^x₁＜3^x₂，
∴3^x₁-3^x₂＜0，1-$\frac{a}{{3}^{{x}_{1}}•{3}^{{x}_{2}}}$＞0，
f（x₁）-f（x₂）=（3^x₁+a•3^-x₁）-（3^x₂+a•3^-x₂）=（3^x₁-3^x₂）+a（$\frac{{3}^{{x}_{2}}-{3}^{{x}_{1}}}{{3}^{{x}_{1}}•{3}^{{x}_{2}}}$）=（3^x₁-3^x₂）（1-$\frac{a}{{3}^{{x}_{1}}•{3}^{{x}_{2}}}$）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
函数f（x）在定义域内的是增函数．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，数形结合思想，方程的根与函数零点的关系，难度中档．