Question

已知f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点．
（Ⅰ）求实数a的取值范围；
（Ⅱ）证明：f（x）的极大值大于-

1

2

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．令g（x）=lnx+1-2ax，由于函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点?g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．g′（x）=

1

x

-2a．当a≤0时，直接验证；当a＞0时，利用导数研究函数g（x）的单调性可得：当x=

1

2a

，函数g（x）取得极大值，故要使g（x）有两个不同解，只需要g（

1

2a

）＞0，解得即可；
（Ⅱ）设函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点为x₁，x₂，且0＜x₁＜

1

2a

＜x₂，f′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．求出f（x₁）和f（x₂），化简并运用不等式的性质，即可得证．

解答： （Ⅰ）解：f（x）=xlnx-ax²（x＞0），f′（x）=lnx+1-2ax．
令g（x）=lnx+1-2ax，
∵函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点，
则g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根．
g′（x）=

1

x

-2a=

1-2ax

x

，
当a≤0时，g′（x）＞0，则函数g（x）在区间（0，+∞）单调递增，
因此g（x）=0在区间（0，+∞）上不可能有两个实数根，应舍去．
当a＞0时，令g′（x）=0，解得x=

1

2a

．
令g′（x）＞0，解得0＜x＜

1

2a

，此时函数g（x）单调递增；
令g′（x）＜0，解得x＞

1

2a

，此时函数g（x）单调递减．
∴当x=

1

2a

时，函数g（x）取得极大值．
当x趋近于0与x趋近于+∞时，g（x）→-∞，
要使g（x）=0在区间（0，+∞）上有两个实数根，则g（

1

2a

）=ln

1

2a

＞0，解得0＜a＜

1

2

．
∴实数a的取值范围是（0，

1

2

）；
（Ⅱ）证明：设函数f（x）=x（lnx-ax）有两个极值点为x₁，x₂，（x₁＜x₂），
∵0＜x₁＜

1

2a

＜x₂，f′（x₁）=lnx₁+1-2ax₁=0，f′（x₂）=lnx₂+1-2ax₂=0．
且f（x₁）=x₁（lnx₁-ax₁）=x₁（2ax₁-1-ax₁）=x₁（ax₁-1）＜x₁（-ax₁）=-ax₁²＜0，
f（x₂）=x₂（lnx₂-ax₂）=x₂（ax₂-1）＞1×（a×

1

2a

-1）=-

1

2

．（

1

2a

＞1）．
故f（x）的极大值大于-

1

2

．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．