Question

13．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F在x轴上，上顶点到右顶点的距离为$\sqrt{7}$，且短轴长是焦距的$\sqrt{3}$倍．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过原点的直线与椭圆C交于A，B两点，过椭圆C的右焦点作直线l∥AB并交椭圆C于M、N两点，是否存在常数λ，使得|AB|²=λ|MN|？若存在，请求出λ；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），运用离心率公式和内切圆的性质以及三角形的面积公式，计算即可得到a，b，c，进而得到椭圆方程；
（2）设出直线l的方程为x=my+1，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，再设直线x=my，代入椭圆方程，运用弦长公式，化简可得|AB|，再由计算即可得到所求常数λ．

解答 解：（1）设椭圆的方程为 $\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
由题意可得2b=2$\sqrt{3}$c，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}=\sqrt{7}$，a²-b²=c²，
解得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（2）设l的方程为x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}x=my+1\\ \frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1\end{array}\right.$得（3m²+4）y²+6my-9=0，
即有y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{6m}{4+3{m}^{2}}）^{2}+\frac{36}{4+3{m}^{2}}}$=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$，
设A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由x=my代入椭圆方程可得
消去x，并整理得y²=$\frac{12}{4+3{m}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₃-y₄|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$，
即有$\frac{|AB{|}^{2}}{\left|MN\right|}$=$\frac{48（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$•$\frac{4+3{m}^{2}}{12（1+{m}^{2}）}$=4．
故存在常数λ=4，使得|AB|²=4|MN|．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，注意运用椭圆的离心率公式和内切圆的性质，考查弦长的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的运算能力，属于中档题．