Question

18．函数满足f（x+1）=xf（x），且当x∈[0，1）时，f（x）=x²，若在区间（-1，1）上，g（x）=f（x）-mx+1有两个零点，则m的范围（　　）

• A． m＜-$\frac{5}{4}$或m＞2
• B． m＞2
• C． -$\frac{5}{4}$＜m≤-1或m=2
• D． -$\frac{5}{4}$＜m≤-1或m＞2

Answer 1

分析 把函数的零点转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．

解答 解：设x∈[-1，0），则x+1∈[0，1），
又f（x+1）=xf（x），f（x）=x²，
∴f（x+1）=xf（x）=（x+1）²=x²+2x+1
∴f（x）=x+$\frac{1}{x}$+2，
∵g（x）=f（x）-mx+1有两个零点，
分别画出y=f（x）的图象与y=mx-1的图象，且y=mx-1的图象过定点（0，1），
由图得可得有两个交点，则m＞2
故选：B．

点评 本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力．