Question

已知曲线C₁的极坐标方程是ρcos（θ+

π

4

）=2

2

．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，曲线C₂的参数方程是：

x=4t2 y=4t

(t是参数）．
（1）将曲线C₁和曲线C₂的方程转化为普通方程；
（2）若曲线C₁与曲线C₂相交于A、B两点，求证OA⊥OB；
（3）设直线y=kx+b与曲线C₂交于两点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），且|y₁-y₂|=a（a＞0且a为常数），过弦PQ的中点M作平行于x轴的直线交曲线C₂于点D，求证：△PQD的面积是定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,点的极坐标和直角坐标的互化,参数方程化成普通方程

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用极坐标方程与直角坐标方程的互化方法，参数方程消去参数，即可得到结论；
（2）联立曲线C₁和曲线C₂的方程并消元，利用向量的数量积公式，即可证明OA⊥OB；
（3）直线与抛物线联立，求出PQ中点M的坐标，D的坐标，即可证明：△PQD的面积是定值．

解答： （1）解：曲线C₁和曲线C₂的方程转化为普通方程为C1：x-y-4=0，C2：y2=4x；
（2）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立曲线C₁和曲线C₂的方程并消元得：y²-4y-16=0，
∴y₁+y₂=4，
∴y₁y₂=-16，
∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=(y1+4)(y2+4)+y1y2=0，
∴OA⊥OB．
（3）证明：

y=kx+b y2=4x

，消x得ky²-4y+4b=0，
∴y1+y2=

4

k

，y1y2=

4b

k

，
由|y₁-y₂|=a（a＞0且a为常数），得(y1+y2)2-4y1y2=a2，
∴a²k²=16（1-kb）．
又可得PQ中点M的坐标为(

x1+x2

2

，

y1+y2

2

)=(

2-bk

k2

，

2

k

)，
∴点D(

1

k2

，

2

k

)，
∴S△PQD=

1

2

DM•|y1-y2|=

1

2

•

1-bk

k2

•a=

a3

32

．面积是定值．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系、参数方程化成普通方程，考查学生分析解决问题的能力，难度中等．