Question

数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=2，a_n+2=（1+cos2

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N₊．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

a2n-1

a2n

，S_n=b₁+b₂+…+b_n，证明：S_n＜2（n∈N₊）．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知结合a_n+2=（1+cos2

nπ

2

）a_n+sin²

nπ

2

，n∈N₊，得到当n=2k-1（k∈N₊）时，a_2k+1-a_2k-1=1．
当n=2k（k∈N₊）时，a_2k+2=2a_2k．然后分别利用等差数列和等比数列的通项公式求得数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）把数列{a_n}的通项公式代入b_n=

a2n-1

a2n

，利用错位相减法求出S_n=b₁+b₂+…+b_n，放缩证得S_n＜2（n∈N₊）．

解答： （Ⅰ）解：∵a₁=1，a₂=2，
∴由题设递推关系式有a3=(1+cos2

π

2

)a1+sin2

π

2

=a1+1=2，a4=(1+cos2π)a1+sin2π=2a2=4．
一般地，当n=2k-1（k∈N₊）时，
a2k+1=[1+cos2

(2k-1)π

2

]a2k-1+sin2

(2k-1)π

2

=a2k-1+1，
即a_2k+1-a_2k-1=1．
∴数列{a_2k-1}是首项为1公差为1的等差数列，因此a_2k-1=k．
当n=2k（k∈N₊）时，
a2k+2=[1+cos2

2kπ

2

]a2k+sin2

2kπ

2

=2a2k，
∴数列{a_2k}是首项为2公比为2的等比数列，因此a2k=2k．
故数列{a_n}的通项公式为an=

n+1 2 ，(n=2k-1，k∈N+) 2 n 2 ，(n=2k，k∈N+)

；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知bn=

a2n-1

a2n

=

n

2n

，
于是Sn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

，…①
从而

1

2

Sn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

，…②
①-②得

1

2

Sn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=

1 2 [1-( 1 2 )n]

1- 1 2

-

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

．
∴Sn=2-

n+2

2n

．
故有S_n＜2．

点评：本题考查了等差关系和等比关系的确定，考查了错位相减法去数列的和，体现了分类讨论的数学思想方法，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．