Question

函数=Asin（ωx+θ）+b（A＞0，ω＞0，-π＜θ＜π）在一个周期内，当x=

π

6

时，y取最大值2，其图象与x轴的相邻两个交点的距离为

π

2

．
（1）求此函数的解析式，
（2）求函数g（x）=

1

f(x+ π 6 )

的值域．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式,正弦函数的定义域和值域

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（1）先确定函数的周期，可得ω的值，利用函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=

π

6

处取得最大值2，即可求得f（x）的解析式；
（2）利用（Ⅰ）推出函数g（x）的表达式，从而即可求出函数g（x）=

1

f(x+ π 6 )

的值域．

解答： 解：（1）其图象与x轴的相邻两个交点的距离为

π

2

，所以b=0，这个距离就是半周期，
根据题意得

T

2

=

1

2

×

2π

ω

=

π

2

，∴ω=2，
∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b（其中A＞0，ω＞0，-π＜φ＜π）在x=

π

6

处取得最大值2，
∴A=2，sin（2×

π

6

+φ）=1，∴φ=

π

6

，
∴f（x）的解析式为f（x）=2sin（2x+

π

6

）；
故所求的函数解析式为：f（x）=2sin（2x-

π

6

）．
（2）函数g（x）=

1

f(x+ π 6 )

=

1

2sin(2x+ π 6 )

，
f（x）=2sin（2x-

π

6

）的最大值2
∴g（x）∈[

1

2

，+∞），
故g（x）的值域为[

1

2

，+∞）．

点评：本题考查函数的解析式，考查正弦函数的定义域和值域，正确求函数的解析式是关键，属于中档题．