Question

已知点P（x，y）在曲线x²-y²=1上运动，则

2y

x

-

1

x2

的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：点P（x，y）在曲线x²-y²=1上运动，设x=secθ，y=tanθ，θ∈[0，2π）（θ≠

π

2

，

3π

2

）．则

2y

x

-

1

x2

=（sinθ+1）²-2，利用正弦函数与二次函数的单调性即可得出．

解答： 解：点P（x，y）在曲线x²-y²=1上运动，设x=secθ，y=tanθ，θ∈[0，2π）（θ≠

π

2

，

3π

2

）．
则

2y

x

-

1

x2

=

2tanθ

secθ

-

1

sec2θ

=2sinθ-cos²θ=（sinθ+1）²-2，
∵-1＜sinθ＜1，∴（sinθ+1）²-2∈（-2，2），
∴

2y

x

-

1

x2

的取值范围是（-2，2）．
故答案为：（-2，2）．

点评：本题考查了双曲线的参数方程、正弦函数与二次函数的单调性，考查了计算能力，属于中档题．