题目内容

14．若函数f（x）=sin2x+4cosx+ax在R上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）
A．（-∞，-3]B．（-∞，-3）C．（-∞，6]D．（-∞，6）

分析 问题转化为a≤4sinx-2cos2x在R恒成立，令g（x）=4sinx-2cos2x，求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．

解答 解：f′（x）=2cos2x-4sinx+a，
若函数f（x）=sin2x+4cosx+ax在R上单调递减，
则a≤4sinx-2cos2x在R恒成立，
令g（x）=4sinx-2cos2x=4sinx-2（1-2sin2x）=4sin2x+4sinx-2=（2sinx+1）2-3，
故g（x）的最小值是-3，则a≤-3，
故选：A．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查三角函数的恒等变换，是一道中档题．

练习册系列答案
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7．已知复数$\frac{a+ai}{2-ai}$为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数a的值为（　　）
A．0B．1C．2D．0或2
5．所sinα=-$\frac{4}{5}$，且α是第三象限角，求：
（1）sin（$\frac{π}{4}$+α）；
（2）cos（$\frac{π}{4}$+α）；
（3）tan（$\frac{π}{4}$+α）．
2．等比数列{an}中，a2=4，a6和a2的等比中项等于±6，则a6=（　　）
A．9B．-9C．±8D．8
9．设数列{an}的前n项和记为Sn，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得Sn=am，则称{an}是“H数列”．
（1）若数列{an}的通项公式an=2n-1，判断{an}是否为“H数列”；
（2）设等差数列{an}的公差d≠0，首项a1=2d，求证：{an}是“H数列”；
（3）设点（Sn，an+1）在直线（1-q）x+y=r上，其中a1=2t＞0，q≠0，若数列{an}是“H数列”，求q，r满足的条件．
19．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=$\frac{1}{2}$，Sn=n2an-n（n-1），n=1，2，…
（1）证明：数列{$\frac{n+1}{n}$Sn}是等差数列，并求Sn．
（2）设bn=$\frac{{S}_{n}}{{n}^{3}+3{n}^{2}}$，求证：b1+b2+…+bn＜$\frac{5}{11}$．
6．若不等式（x-a）（x-b）＜0的解集为（-1，2），则a+b的值是1．
3．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|=|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（　　）
A．$\frac{4}{3}$B．$\frac{5}{3}$C．2D．3
4．已知函数$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}cos2x，x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$
（1）求f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）-a又两个零点，求实数a的取值范围．

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