Question

9．设数列{a_n}的前n项和记为S_n，若对任意的正整数n，总存在正整数m，使得S_n=a_m，则称{a_n}是“H数列”．
（1）若数列{a_n}的通项公式a_n=2^n-1，判断{a_n}是否为“H数列”；
（2）设等差数列{a_n}的公差d≠0，首项a₁=2d，求证：{a_n}是“H数列”；
（3）设点（S_n，a_n+1）在直线（1-q）x+y=r上，其中a₁=2t＞0，q≠0，若数列{a_n}是“H数列”，求q，r满足的条件．

Answer 1

分析 （1）通过n=1，a₁=S₁=2，然后求解数列的S_n，利用新定义判断即可．
（2）求出S_n，对任意n∈N^*，存在m∈N^*使S_n=a_m，利用新定义判断即可．
（3）n≥2时，推出a_n+1=qa_n，求出a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2t，n=1}\\{p•{q}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．通过q=1时，推出{a_n}不是“H数列”，q≠1时，求出S_n，利用新定义推出q=2，r=0，t＞0的正实数．

解答 （1）解：n=1，a₁=S₁=1，∴S_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1是奇数，2^m-1是偶数，∴2ⁿ-1≠2^m-1，
∴{a_n}不是“H数列”．
（2）证明：S_n=na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d
对任意n∈N^*，存在m∈N^*使S_n=a_m，即na₁+$\frac{n（n-1）}{2}$d=a₁+（m-1）d，a₁=2d≠0，
∴m=2n-1+$\frac{n（n-1）}{2}$，
n，n-1是一奇一偶，∴m一定是自然数；
∴{a_n}是“H数列”．
（3）解：由题意可得：n≥2时（1-q）S_n+a_n+1=r，（1-q）S_n-1+a_n=r（1-q）a_n+a_n+1-a_n=0，
∴a_n+1=qa_n，
（1-q）×2t+a₂=ra₂=r+2qt-2t=p，
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2t，n=1}\\{p•{q}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
q=1时，a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2t，n=1}\\{p，n≥2}\end{array}\right.$，
S_n=2t+（n-1）r=r不恒成立 显然{a_n}不是“H数列”，
q≠1时S_n=2t+$\frac{p（1-{q}^{n-1}）}{1-q}$，
n=1，S₁=a₁，{a_n}是“H数列”，所以对任意n≥2时，存在m∈N*成立，
∴S_n=2t+$\frac{p}{1-q}$-$\frac{p{q}^{n-1}}{1-q}$=pq^m-2，可得-$\frac{p{q}^{n-1}}{1-q}$=pq^m-2，即q^n-1=（q-1）q^m-2，解得q=2，
∴q=2，由2t+$\frac{p}{1-q}$=0，得p=2t，
由r+2qt-2t=p，∴r+4t-2t=2t，r=0，
∴q=2，r=0，t＞0的正实数．

点评 本题考查数列的应用，数列与函数相结合，考查新定义的应用，转化思想以及分析问题解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．