Question

4．已知函数$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}cos2x，x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$
（1）求f（x）的值域；
（2）若函数y=f（x）-a又两个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，当x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$]，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．
（2）函数y=f（x）-a有两个零点，即y=f（x）与y=a的图象有两交点．数形结合法可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）函数$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}cos2x，x∈[\frac{π}{4}，\frac{π}{2}]$
化简可得：$f（x）=2{sin^2}（x+\frac{π}{4}）-\sqrt{3}cos2x=1-cos（2x+\frac{π}{2}）-\sqrt{3}cos2x$=$sin2x-\sqrt{3}cos2x+1$=$2sin（2x-\frac{π}{3}）+1$
又∵$\frac{π}{4}≤x≤\frac{π}{2}$
∴得$\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{2π}{3}$
∴$sin（2x-\frac{π}{3}）∈[\frac{1}{2}，1]$，
∴$2sin（2x-\frac{π}{3}）∈[1，2]$
故得f（x）的值域f（x）∈[2，3]为所求．
（2）要函数y=f（x）-a有两个零点，
即方程$2sin（2x-\frac{π}{3}）+1-a=0$有两个根，
即函数$y=2sin（2x-\frac{π}{3}）$与y=a-1的图象又两个交点．
由（1）可知$\sqrt{3}≤a-1＜2$，
得$\sqrt{3}+1≤a＜3$为所求．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．