题目内容
已知椭圆的方程为x2+
=1（0＜a＜1），椭圆上离顶点A（0，a）的最远点为（0，-a），则实数a的取值范围是（ ）
| y2 |
| a2 |
| A、0＜a＜1 | ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、0＜a＜
|
考点：椭圆的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：由题意设出椭圆上点的参数坐标，写出两点间的距离公式，配方后由函数取得最大值的条件可得
≥1，从而求得a的取值范围．
| a2 |
| 1-a2 |
解答：
解：设P（cost，asint）是椭圆上任一点，
则|PA|=
=
．
∵最远的点恰好是另一个顶点（0，-a），
∴当cost=0，sint=-1时取最大值．
则
≥1，即a2≥1-a2，解得：a≤-
或a≥
．
∴a的取值范围为
≤a＜1．
故选：B．
则|PA|=
| cos2t+a2(1-sint)2 |
=
-(1-a2)(sint-
|
∵最远的点恰好是另一个顶点（0，-a），
∴当cost=0，sint=-1时取最大值．
则
| a2 |
| 1-a2 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
∴a的取值范围为
| ||
| 2 |
故选：B．
点评：本题考查了椭圆的参数方程，函数取得最值的条件，训练了利用配方法求函数的最值，是中档题．
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