Question

6．已知向量$\overrightarrow{BA}=（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，$\overrightarrow{BC}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，则∠ABC=（　　）

• A． 120°
• B． 45°
• C． 30°
• D． 60°

Answer 1

分析 根据题意，由向量$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$的坐标可得向量$\overrightarrow{BA}$、$\overrightarrow{BC}$的模以及$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$的值，结合数量积的计算公式计算可得答案．

解答 解：根据题意，＜$\overrightarrow{BA}$，$\overrightarrow{BC}$＞=∠ABC，
向量$\overrightarrow{BA}=（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}）$，则|$\overrightarrow{BA}$|=1，$\overrightarrow{BC}=（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，\frac{1}{2}）$，则|$\overrightarrow{BC}$|=1，
$\overrightarrow{BA}$•$\overrightarrow{BC}$=$\frac{1}{2}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则cos∠ABC=$\frac{\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}||\overrightarrow{BC}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又由∠ABC∈[0°，180°]，
则∠ABC=30°；
故选：C．

点评 本题考查向量的数量积、模的计算，关键是掌握数量积的定义以及计算公式．