Question

某省示范性高中应届毕业班有3名男生和1名女生获得了同一名牌大学的自主招生校荐资格，根据这几位考生的实际情况，估计这3名男生能通过该大学自主招生考试的概率都是

1

2

，这1名女生通过的概率是

1

3

，且这4人是否通过考试互不影响．已知通过考试的男生有a人，女生有b人．
（Ⅰ）求a=b的概率；
（Ⅱ）记ξ=a=b，求ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）“a=b”意即“a=b=0”或“a=b=1”，且二者互斥，由此能求出a=b的概率．
（Ⅱ）由题意知ξ=0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）“a=b”意即“a=b=0”或“a=b=1”，且二者互斥，
∴a=b的概率P（a=b）=

2

3

C

0 3

(

1

2

)0(

1

2

)3+

1

3

C

1 3

(

1

2

)(

1

2

)2=

5

24

．
（Ⅱ）由题意知ξ=0，1，2，3，4，
P（ξ=0）=

2

3

C

3 3

(

1

2

)3=

1

12

，
P（ξ=1）=

1

3

C

0 3

(

1

2

)3+

2

3

C

1 3

(

1

2

)(

1

2

)2=

7

24

，
P（ξ=2）=

1

3

C

1 3

(

1

2

)(

1

2

)2+

2

3

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)=

3

8

，
P（ξ=3）=

1

3

C

2 3

(

1

2

)2(

1

2

)+

2

3

C

3 3

(

1

2

)3=

5

24

，
P（ξ=4）=

1

3

C

2 3

(

1

2

)3=

1

24

，

ξ	0	1	2	3	4
P	1 12	7 24	3 8	5 24	1 24

∴Eξ=0×

1

12

+1×

7

24

+2×

3

8

+3×

5

24

+4×

1

24

=

11

6

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．