题目内容
已知△ABC的内角A、B、C成等差数列，且A、B、C所对的边分别是a，b，c，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
①B=
；
②若a，b，c成等差数列，则△ABC为等边三角形；
③若a=2c，则△ABC为锐角三角形；
④若
2=
•
+
•
+
•
，则3A=C；
⑤若tanA+tanC+
＞0，则△ABC为钝角三角形．
①B=
| π |
| 3 |
②若a，b，c成等差数列，则△ABC为等边三角形；
③若a=2c，则△ABC为锐角三角形；
④若
| AB |
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
| CA |
| CB |
⑤若tanA+tanC+
| 3 |
考点：命题的真假判断与应用
专题：解三角形
分析：①利用等差数列的定义和三角形内角和定理即可判断出；
②利用等差数列和余弦定理即可得出；
③利用余弦定理和勾股定理的逆定理即可得出；
④利用余弦定理、数量积运算、类比③即可得出；
⑤利用两角和的正切公式及其三角函数的单调性即可得出．
②利用等差数列和余弦定理即可得出；
③利用余弦定理和勾股定理的逆定理即可得出；
④利用余弦定理、数量积运算、类比③即可得出；
⑤利用两角和的正切公式及其三角函数的单调性即可得出．
解答：
解：①∵△ABC的内角A、B、C成等差数列，∴2B=A+C，又A+B+C=π，解得B=
，因此正确；
②若a，b，c成等差数列，则2b=a+c，∴4b2=（a+c）2=a2+c2+2ac，
又b2=a2+c2-2accos
=a2+c2-ac，代入上式可得（a-c）2=0，解得a=c．
∴△ABC为等边三角形；因此正确．
③∵b2=a2+c2-2accos
，a=2c，∴b2=3c2，
∴c2+b2=4c2=a2，∴A=
．
∴△ABC为直角三角形，因此③不正确．
④∵
2=
•
+
•
+
•
，
∴c2=bccosA+
ac+abcosC，
由余弦定理可得：c2=
(b2+c2-a2)+
ac+
(a2+b2-c2)，
化为c=2a，类比③可得C=
，A=
，∴C=3A．因此正确．
⑤若tanA+tanC+
＞0，则tan（A+C）（1-tanAtanC）+
＞0，
∵tan（A+C）=tan（π-B）=-tan
=-
，
∴-
+
tanAtanC+
＞0，化为tanAtanC＞0，可得A，C都为锐角，
因此△ABC为锐角三角形，故⑤不正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．
| π |
| 3 |
②若a，b，c成等差数列，则2b=a+c，∴4b2=（a+c）2=a2+c2+2ac，
又b2=a2+c2-2accos
| π |
| 3 |
∴△ABC为等边三角形；因此正确．
③∵b2=a2+c2-2accos
| π |
| 3 |
∴c2+b2=4c2=a2，∴A=
| π |
| 2 |
∴△ABC为直角三角形，因此③不正确．
④∵
| AB |
| AB |
| AC |
| BA |
| BC |
| CA |
| CB |
∴c2=bccosA+
| 1 |
| 2 |
由余弦定理可得：c2=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
化为c=2a，类比③可得C=
| π |
| 2 |
| π |
| 6 |
⑤若tanA+tanC+
| 3 |
| 3 |
∵tan（A+C）=tan（π-B）=-tan
| π |
| 3 |
| 3 |
∴-
| 3 |
| 3 |
| 3 |
因此△ABC为锐角三角形，故⑤不正确．
综上可知：只有①②④正确．
故答案为：①②④．
点评：本题考查了余弦定理、勾股定理的逆定理、三角形的内角和定理、三角函数的单调性、等差数列等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
练习册系列答案
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设F1，F2为椭圆Γ：
+
=1（a＞b＞0）的左，右焦点，点M在椭圆Γ上．若△MF1F2为直角三角形，且|MF1|=2|MF2|，则椭圆Γ的离心率为（ ）
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
A、
| ||||||||
B、
| ||||||||
C、
| ||||||||
D、
|
下列命题正确的是（ ）
| A、直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行 |
| B、如果两条直线在平面α内的射影平行，则这两条直线平行 |
| C、垂直于同一直线的两个平面平行 |
| D、直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直 |