Question

设函数f（θ）=

a

•

b

，向量

a

=（sinθ，cosθ），

b

=（sinθ，

3

sinθ+2cosθ），其中角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴非负半轴重合，终边经过点P（x，y），且0≤θ≤π．
（1）若点P的坐标为（

1

2

，

3

2

），求f（θ）的值；
（2）若点P（x，y）为平面区域Ω

x+y≥1 x≤1 y≤1

上的一个动点，试确定θ的取值范围，并求f（θ）的最小值和最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划,平面向量数量积的运算

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）利用平面向量的数量积的定义和坐标公式，建立条件关系，根据三角函数的定义，即可得到结论．
（2）作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合即可得到f（θ）的最小值和最大值．

解答： 解：（1）由P(

1

2

，

3

2

)且0≤θ≤π得θ=

π

3

；
f（θ）=

a

•

b

=sin2θ+

3

sinθcosθ+2cos2θ=1+cos2θ+

3

2

sin2θ=

3

2

sin2θ+

1

2

cos2θ+

3

2

=sin(2θ+

π

6

)+

3

2

，f(

π

3

)=sin(

2π

3

+

π

6

)+

3

2

=2．
（2）如图，作出平面区域Ω
由图形可得θ∈[ 0 ，

π

2

 ]，
f(θ)=sin(2θ+

π

6

)+

3

2

，
∵θ∈[ 0 ，

π

2

 ]，
∴2θ+

π

6

∈[

π

6

，

7π

6

]
∴f（θ）的最小值=f(

π

2

)=1；  
f（θ）的最大值=f(

π

6

)=

5

2

．

点评：本题主要三角函数的图象和性质，利用平面向量的数量积公式进行化简是解决本题的根据，注意线性规划的应用．