Question

已知函数f_n（x）=

x2-2x-a

enx

，其中n∈N^*，a∈R，e是自然对数的底数．
（Ⅰ）求函数g（x）=f₁（x）-f₂（x）的零点；
（Ⅱ）若对任意n∈N^*，f_n（x）均有两个极值点，一个在区间（1，4）内，另一个在区间[1，4]外，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求函数g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，令g（x）=0，即x=0；或 x²-2x-a=0；△=4+4a，分情况讨论可解得零点．
（II）f_n′（x）=

-nx2+2(n+1)x+a•n-2

enx

，设g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的图象是开口向下的抛物线，g_n（x）=0有两个不等实数根x₁，x₂，
且x₁∈[1，4]，x₂∈[1，4]则g_n（1）g_n（4）＜0，即可推得-1＜a＜(8-

6

n

)min，故-1＜a＜2．

解答： 解：（I）g（x）=f₁（x）-f₂（x）=

x2-2x-a

ex

-

x2-2x-a

e2x

=

(x2-2x-a)(ex-1)

e2x

，
令g（x）=0，有e^x-1=0，即x=0；或x²-2x-a=0；△=4+4a，
①当a＜1时，△＜0函数g（x）有1个零点 x₁=0；  
②当a=-1时，△=0函数g（x）有2个零点x₁=0，x₂=1；
③当a=0时，△＞0函数g（x）有两个零点x₁=0，x₂=2；
④当a＞-1，a≠0时，△＞0函数g（x）有三个零点：
x₁=0，x₂=1-

a+1

，x₃=1+

a+1

（II）f_n′（x）=

(2x-2)enx-n(x2-2x-a)enx

enx

=

-nx2+2(n+1)x+a•n-2

enx

，
设g_n（x）=-nx²+2（n+1）x+an-2，g_n（x）的图象是开口向下的抛物线，
由题意对任意n∈N^*，g_n（x）=0有两个不等实数根x₁，x₂，
且x₁∈[1，4]，x₂∈[1，4]则对任意n∈N^*，g_n（1）g_n（4）＜0，
即n•（a+1）•n•[a-（8-

6

n

）]＜0，有(a+1)[a-(8-

6

n

)]＜0，…（7分）
又任意n∈N^*，8-

6

n

关于n递增，8-

6

n

≥8-6=2，
故-1＜a＜(8-

6

n

)min，所以-1＜a＜2．
所以a的取值范围是（-1，2）．

点评：本题主要考察了利用导数研究函数的极值，考察了计算能力，属于难题．