Question

已知函数f（x）在R上满足

f(x)-f(-x)

2λ

=0（λ≠0），且对任意的实数x₁≠x₂（x₁＞0，x₂＞0）时，有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0成立，如果实数t满足f（lnt）-f（1）≤f（1）-f（ln

1

t

），那么t的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据已知条件容易判断出f（x）是偶函数，且在（0，+∞）上为增函数，再根据对数的运算，从而可得到f（lnt）≤f（1），根据f（x）的奇偶性及单调性即可得到|lnt|≤1，从而根据对数函数的单调性解出该不等式即可．

解答： 解：根据已知条件及偶函数，增函数的定义可知：
f（x）是偶函数，在（0，+∞）上是增函数；
∴由f（lnt）-f（1）≤f(1)-f(ln

1

t

)得：f（lnt）≤f（1）；
∴|lnt|≤1，-1≤lnt≤1；
∴

1

e

≤t≤e；
∴t的取值范围为[

1

e

，e]．
故答案为：[

1

e

，e]．

点评：考查偶函数，增函数的定义，以及对数的运算，偶函数、增函数的运用，根据对数函数的单调性解不等式．