Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），f（1）=0，g（x）=ax+b．
（1）求证方程f（x）=g（x）有两个不同的实根；
（2）设方程f（x）=g（x）的两实根为x₁，x₂求|x₁-x₂|的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先判断出ac＜0，再根据根的判别式求出△＞0，从而证出结论；（2）先根据a，b，c的关系得到-2＜

c

a

＜-

1

2

，问题转化为求函数f（

c

a

）=(

c

a

)2-

4c

a

的最值问题即可．

解答： （1）证明：∵f（1）=0，∴a+b+c=0，
∵a＞b＞c，∴a＞0，c＜0，∴ac＜0，
∵f（x）=g（x），
∴ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
∴△=（b-a）²-4a（c-b）
=（a+b）²-4ac
=c²-4ac，
∵ac＜0，
∴△＞0，
∴方程f（x）=g（x）有两个不同的实根；
（2）解：∵a＞b＞c，a+b+c=0，b=-a-c，
∴a＞0，c＜0，a＞-a-c＞c，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
∵方程f（x）=g（x），
∴ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
∴x₁+x₂=

a-b

a

，x₁•x₂=

c-b

a

，
∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x₁ x₂
=(

a-b

a

)2-

4(c-b)

a

=(

2a+c

a

)2-

4(a+2c)

a

=(

c

a

+2)2-4（

2c

a

+1）
=(

c

a

)2-

4c

a

，
∵函数f（

c

a

）=(

c

a

)2-

4c

a

的对称轴是

c

a

=2，
∴函数f（

c

a

）在（-2，-

1

2

）单调递减，
∵f（-2）=12，f（-

1

2

）=

9

2

，
∴

3 2

2

＜x₁-x₂|＜2

3

．

点评：本题考查了二次函数的性质，考查了转化思想，是一道中档题．