Question

10．函数y=asinx-bcosx满足f（$\frac{2π}{3}$-x）=f（x），那么$\frac{a}{b}$=（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 1
• C． -$\sqrt{3}$
• D． -1

Answer 1

分析 由已知化简可得y=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x-φ），其中，tanφ=$\frac{b}{a}$，结合f（$\frac{2π}{3}$-x）=f（x），可求sin（$\frac{π}{3}$+x+φ）=sin（x-φ），解得φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，利用两角差的正切函数公式可得tanφ=$\frac{b}{a}$=tan（kπ-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，进而可求$\frac{a}{b}$的值．

解答 解：∵y=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x-φ），其中，tanφ=$\frac{b}{a}$，
∵f（$\frac{2π}{3}$-x）=f（x），
∴$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（$\frac{2π}{3}$-x-φ）=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$sin（x-φ），可得：sin（$\frac{π}{3}$+x+φ）=sin（x-φ），
∴$\frac{π}{3}$+x+φ=x-φ+2kπ，k∈Z，
∴解得：φ=kπ-$\frac{π}{6}$，k∈Z，
∵tanφ=$\frac{b}{a}$=tan（kπ-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴解得：$\frac{a}{b}$=-$\sqrt{3}$．
故选：C．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于中档题．