Question

1．如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=2，CD=4．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：平面PBC⊥平面PBD；
（3）设Q为棱PC上一点，$\overrightarrow{CQ}$=λ$\overrightarrow{CP}$，试确定λ的值使得二面角Q-BD-P为60°．

Answer 1

分析 （1）令PD中点为F，连接EF，AF，推导出四边形FABE为平行四边形，从而BE∥AF，由此能证明BE∥面PAD．
（2）过点B作BH⊥CD于H，推导出BC⊥BD．PD⊥BC，从而BC⊥平面PBD，由此能证明平面PBC⊥平面PBD．
（3）作QR⊥CD于R，作RS⊥BD于S，连结QS，则∠QSR就是二面角Q-BD-C的平面角，且∠QSR=60°，由此能求出λ的值使得二面角Q-BD-P为60°．

解答 证明：（1）令PD中点为F，连接EF，AF，
∵点E，F分别是PC、PD的中点，∴EF$\underline{\underline{∥}}$$\frac{1}{2}CD$，∴EF$\underline{\underline{∥}}$AB．
∴四边形FABE为平行四边形．∴BE∥AF，
∵AF?平面PAD，BE?平面PAD，
∴BE∥面PAD．
（2）在梯形ABCD中，过点B作BH⊥CD于H，
在△BCH中，BH=CH=1，∴∠BCH=45°．
又在△DAB中，AD=AB=1，∴∠ADB=45°，∴∠BDC=45°，
∴∠DBC=90°，∴BC⊥BD．
∵面PCD⊥面ABCD，面PCD∩面ABCD=CD，PD⊥CD，PD?面PCD，
∴PD⊥面ABCD，∴PD⊥BC，
∵BD∩PD=D，BD?平面PBD，PD?平面PBD，
∴BC⊥平面PBD，BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD．
解：（3）作QR⊥CD于R，作RS⊥BD于S，连结QS
由于QR∥PD，∴QR⊥平面ABCD
∴∠QSR就是二面角Q-BD-C的平面角，
∵面PBD⊥面ABCD，且二面角Q-BD-P为60°
∴∠QSR=60°∴$SR=\frac{{\sqrt{3}}}{3}QR$
∵QR∥PD∴$\frac{CQ}{CP}=\frac{CR}{CD}=\sqrt{6}-2$
∴$λ=\sqrt{6}-2$．

点评 本题考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．