Question

8．已知无穷等数列{a_n}中，首项a₁=1000，公比q=$\frac{1}{10}$，数列{b_n}满足b_n=$\frac{1}{n}$（lga₁+lga₂+…+lga_n）．
（1）求数列{b_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用等比数列的通项公式可得a_n，再利用等差数列的前n项和公式即可得出．
（2）利用等差数列的前n项和公式及其二次函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）a_n=1000×$（\frac{1}{10}）^{n-1}$=10^4-n，
=${a_n}={10^{4-n}}$，
∴lga_n=4-n，
∴${b_n}=\frac{1}{n}（lg{a_1}+lg{a_2}+…+lg{a_n}）=\frac{3+4-n}{2}=\frac{7-n}{2}$．
（2）设数列{b_n}的前n项之和为T_n，则${T_n}=\frac{{-{n^2}+13n}}{4}$=-$\frac{1}{4}$$（n-\frac{13}{2}）^{2}$+$\frac{169}{16}$，
当n=6，7时，T_n取得最大值$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．