Question

已知函数f（x）=x³-3ax+b，（a，b∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为3ax+y-2a=0，且y=f（x）与x轴有且只有一个公共点，求a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：分类讨论,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求出函数f（x）的导数，再对a讨论，分a≤0，a＞0两种，令f'（x）＞0，f'（x）＜0，求出单调区间；
（Ⅱ）由条件先求出切线的斜率，再用点斜式方程写出切线方程，得到b=2a，根据（Ⅰ）的结论，对a分别讨论a≤0，a＞0，当a≤0时，显然成立；当a＞0时，求出函数的极大值和极小值，由y=f（x）的图象与x轴有且只有一个公共点得极大值小于0或极小值大于0，解出不等式求并集即可．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）的导数f'（x）=3x²-3a，
（1）当a≤0时，f'（x）≥0恒成立，此时f（x）在（-∞，+∞）上是增函数，
（2）当a＞0时，令f'（x）=0，得x=±

a

，
令f'（x）＞0，得x＜-

a

或x＞

a

，
令f'（x）＜0，得-

a

＜x＜

a

，
∴f（x）在(-∞，-

a

)和(

a

，+∞)上是增函数，
在[-

a

，

a

]上是减函数；
（Ⅱ）∵f'（0）=-3a，f（0）=b，
∴曲线y=f（x）在x=0处的切线方程为y-b=-3ax，
即3ax+y-b=0，
∴b=2a，
∴f（x）=x³-3ax+2a，
由（Ⅰ）知，
（1）当a≤0时，f（x）在区间（-∞，+∞）单调递增，所以题设成立，
（2）当a＞0时，f（x）在x=-

a

处达到极大值，在x=

a

处达到极小值，
此时题设成立等价条件是f(-

a

)＜0或f(

a

)＞0，
即：(-

a

)3-3a(-

a

)+2a＜0或(

a

)3-3a(

a

)+2a＞0
即：-a

a

+3a

a

+2a＜0或a

a

-3a

a

+2a＞0，
解得：0＜a＜1，
由（1）（2）可知a的取值范围是（-∞，1）．

点评：本题主要考查导数在函数中的综合应用：求切线方程，求单调区间，求极值，同时考查分类讨论的思想方法，以及解不等式的运算能力，注意分清最终求解集的并还是交．