Question

围建一个面积为360平方米的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其它三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2米的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/米，新墙的造价为180元/米，设利用的旧墙的长度为x米，工程总造价为y（单位：元）．

（Ⅰ）将y表示为x的函数；
（Ⅱ）试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

Answer 1

考点：根据实际问题选择函数类型

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）设矩形的另一边长为a米，列出函数的表达式，注明定义域．
（II）利用基本不等式直接求解最值即可．

解答： 解：（Ⅰ）设矩形的另一边长为a米，
则y=45x+180（x-2）+180×2a=225x+360a-360（2分）
由已知xa=360，得a=

360

x

，（4分）
所以y=225x+

3602

x

-360(x＞0)（6分）
（II）∵x＞0，∴225x+

3602

x

≥2

225x• 3602 x

=10800∴y=225x+

3602

x

-360≥10400（9分）
当且仅当225x=

3602

x

，即x=24时，等号成立．（11分）
所以当x=24米时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元．          （12分）

点评：本题考查函数与方程的综合应用，列出函数的解析式是解题的关键．