Question

设f（x）=sinx+cosx（0≤x≤π）
（Ⅰ）求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（Ⅱ）求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（α）=

1

5

，求sin(2α-

π

2

)的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,两角和与差的正弦函数,三角函数的最值

专题：三角函数的求值

分析：（Ⅰ）利用两角和与差三角函数化简解析式，求出相位的范围，即可求f（x）的最大值及取得最大值时x的值；
（Ⅱ）直接利用正弦函数的单调求解求f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（α）=

1

5

，解法一，利用已知条件，通过平方，二倍角的正弦函数求出sin2α，cos2α，然后利用两角和的正弦函数去sin(2α-

π

2

)的值．
解法二，求解sin(α+

π

4

)，cos(α+

π

4

)，然后求解所求表达式的值即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

2

sin(x+

π

4

)，（3分）
∵0≤x≤π，∴

π

4

≤x+

π

4

≤

5π

4

，（4分）
所以当x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

4

时，（5分）
f（x）有最大值

2

；（6分）
（Ⅱ）当0≤x+

π

4

≤

π

2

时f（x）单调增，（7分）
当

π

2

≤x+

π

4

≤π时f（x）单调减，（8分）
所以f（x）的单调增区间是[0，

π

4

]，单调减区间是[

π

4

，π]；（10分）
（Ⅲ）解法一：∵sinα+cosα=

1

5

，0≤α≤π，∴

π

2

≤α≤

3π

4

∴π≤2α≤

3π

2

，（11分）
∵(sinα+cosα)2=

1

25

∴sin2α=-

24

25

∴cos2α=-

7

25

（13分）
∴sin(2α-

π

2

)=-cos2α=

7

25

（14分）
解法二：∵f(α)=

1

5

，0≤α≤π，即sin(α+

π

4

)=

2

10

＜

2

2

∴

3π

4

＜α+

π

4

≤π（11分）
∴cos(α+

π

4

)=-

7 2

10

∴sin(2α+

π

2

)=2sin(α+

π

4

)cos(α+

π

4

)=-

7

25

，即cos2α=-

7

25

．（13分）
∴sin(2α-

π

2

)=-cos2α=

7

25

．（14分）

点评：本题考查三角函数的化简求值，两角和与差的三角函数的应用，考查计算能力以及转化思想．