Question

10．已知函数y=x²的图象在点$（{{x_0}，{x_0}^2}）$处的切线为m，若m也与函数y=lnx，x∈（0，1]的图象相切，则x₀必满足（　　）

• A． $0＜{x_0}＜\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{2}＜{x_0}＜1$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}＜{x_0}＜\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}＜{x_0}＜\sqrt{3}$

Answer 1

分析 求出函数y=x²的导数，y=lnx的导数，求出切线的斜率，切线的方程，可得2x₀=$\frac{1}{m}$，lnm-1=-x₀²，再由零点存在定理，即可得到所求范围．

解答 解：函数y=x²的导数为y′=2x，
在点（x₀，x₀²）处的切线的斜率为k=2x₀，
切线方程为y-x₀²=2x₀（x-x₀），
设切线与y=lnx相切的切点为（m，lnm），0＜m＜1，
即有y=lnx的导数为y′=$\frac{1}{x}$，
可得2x₀=$\frac{1}{m}$，切线方程为y-lnm=$\frac{1}{m}$（x-m），
令x=0，可得y=lnm-1=-x₀²，
由0＜m＜1，可得x₀＞$\frac{1}{2}$，且x₀²＞1，
解得x₀＞1，
由m=$\frac{1}{2{x}_{0}}$，可得x₀²-ln（2x₀）-1=0，
令f（x）=x²-ln（2x）-1，x＞1，
f′（x）=2x-$\frac{1}{x}$＞0，f（x）在x＞1递增，
且f（$\sqrt{2}$）=2-ln2$\sqrt{2}$-1＜0，f（$\sqrt{3}$）=3-ln2$\sqrt{3}$-1＞0，
则有x₀²-ln（2x₀）-1=0的根x₀∈（$\sqrt{2}$，$\sqrt{3}$）．
故选：D．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间，考查函数方程的转化思想，以及函数零点存在定理的运用，属于中档题．