题目内容
设函数f（x）=cos2x+2
sinxcosx（x∈R）的最大值为M，最小正周期为T．
（1）求M，T的值．
（2）20个互不相等的正数xi满足f（xi）=
M，且xi＜10π（i=1，2，…，20），求x1+x2+…+x20的值．
| 3 |
（1）求M，T的值．
（2）20个互不相等的正数xi满足f（xi）=
| ||
| 2 |
考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法
专题：三角函数的图像与性质
分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简整理，进而通过三角函数性质求得函数最大值和最小正周期．
（2）根据（1）中的结论，求得f（xi）的值，进而表示出xi，利用根据k的不同取值求得xi，最后把所有可能的xi相加．
（2）根据（1）中的结论，求得f（xi）的值，进而表示出xi，利用根据k的不同取值求得xi，最后把所有可能的xi相加．
解答：
解：（1）f（x）=cos2x+2
sinxcosx=cos2x+
sin2x=2（
cos2x+
sin2x）=2sin（2x+
），
∵-1≤sin（2x+
）≤1
∴-2≤2sin（2x+
）≤2，
即M=2，T=
=π．
（2）∵f（xi）=2sin（2xi+
）=
M=
×2=
，
∴sin（2xi+
）=
，
∴2xi+
=
+2kπ（k∈Z）或2xi+
=
+2kπ（k∈Z），
即xi=kπ+
或kπ+
，
∵xi＜10π，
∴当xi=kπ+
时，k可取0，1，2，…9；当xi=kπ+
时，k可取0，1，2，…9，
∴x1=
，x2=π+
，…xi=9π+
，x11=
，x12=π+
，…x20=9π+
，
∴x1+x2+…+x20
=（
+π+
+…+9π+
）+（
+π+
+…+9π+
）
=
×10+
×10+2（1+2+3+…+9）π
=
×10+
×10+2×
•π=
．
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
| π |
| 6 |
∵-1≤sin（2x+
| π |
| 6 |
∴-2≤2sin（2x+
| π |
| 6 |
即M=2，T=
| 2π |
| 2 |
（2）∵f（xi）=2sin（2xi+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
| ||
| 2 |
| 3 |
∴sin（2xi+
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
∴2xi+
| π |
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| π |
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| π |
| 6 |
| 2π |
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即xi=kπ+
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
∵xi＜10π，
∴当xi=kπ+
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
∴x1=
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
∴x1+x2+…+x20
=（
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
=
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
=
| π |
| 12 |
| π |
| 4 |
| (1+9)×9 |
| 2 |
| 280π |
| 3 |
点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象和性质．特别是第三问考查了学生推理和运算能力．
练习册系列答案
阶梯计算系列答案
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若函数f（x）=
x3+atanx-bx+
，且f（1）=-1，则f（-1）=（ ）
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| A、0 | B、1 | C、2 | D、3 |
下列选项中叙述正确的是（ ）
| A、三角形的内角是第一象限角或第二象限角 |
| B、小于90°的角一定是锐角 |
| C、锐角一定是第一象限的角 |
| D、终边相同的角一定相等 |
