Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2a_n-3n，（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n+3}为等比数列；    
（Ⅱ）记b_n=

6

n(6×2n-Sn)

，求{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）易求a₁=3，由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，两式相减，可得a_n+1=2a_n+3，进而可化为a_n+1+3=2（a_n+3）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可求a_n，分组求和可得S_n，表示出b_n，利用裂项相消法可求得T_n．

解答： 解：（Ⅰ）令n=1，S₁=2a₁-3，∴a₁=3，
由S_n+1=2a_n+1-3（n+1），S_n=2a_n-3n，
两式相减，得a_n+1=2a_n+1-2a_n-3，
则a_n+1=2a_n+3，a_n+1+3=2（a_n+3），

an+1+3

an+3

=2，
∴{a_n+3}为公比为2的等比数列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，an+3=(a1+3)•2n-1=6•2n-1，
∴an=6•2n-1-3，Sn=

6(1-2n)

1-2

-3n=6•2n-3n-6．
∴bn=

6

n(6×2n-Sn)

=

6

n(3n+6)

=

2

n(n+2)

=

1

n

-

1

n+2

，
∴Tn=(1-

1

3

)+(

1

2

-

1

4

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

n

-

1

n+2

)=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3n2+5n

2n2+6n+4

．

点评：本题考查由递推式求数列通项、等比数列的求和公式等知识，裂项相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握，弄清裂项规律是解题关键．