Question

5．下列四个命题中，正确的有（　　）
①两个变量间的相关系数r越小，说明两变量间的线性相关程度越低；
②命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x²+x+1＞0”；
③命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的必要不充分条件；
④若函数f（x）=x³+3ax²+bx+a²在x=-1有极值0，则a=2，b=9或a=1，b=3．

• A． 0 个
• B． 1 个
• C． 2 个
• D． 3个

Answer 1

分析 根据相关系数的定义可知①错误；根据特称命题（又叫存在性命题）的否定可知②错误；根据真值表即可判断“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分不必要条件，故③错误；由条件可得，f（-1）=0，f'（-1）=0，解得a=2，b=9或a=1，b=3，经检验，当a=1，b=3时，f'（x）=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故④错误．

解答 解：对于①：相关系数r的绝对值越趋近于1，相关性越强；越趋近于0，相关性越弱，故①错误；
对于②：命题“?x∈R，使得x²+x+1＜0”的否定是：“对?x∈R，均有x²+x+1≥0”，故②错误；
对于③：若p∧q为真，则p、q均为真命题，此时p∨q为真，故命题“p∧q为真”是命题“p∨q为真”的充分条件，故③错误；
对于④：f'（x）=3x²+6ax+b，因为f（x）在x=-1有极值0，故$\left\{\begin{array}{l}{f（-1）=3a-b+{a}^{2}-1=0}\\{f'（-1）=3-6a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=9}\end{array}\right.，或\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=3}\end{array}\right.$
经检验，当a=2，b=9时，f'（x）=3x²+12x+9=3（x+1）（x+3），此时f（x）在x=-1处取得极小值，符合条件；
当a=1，b=3时，f'（x）=3x²+6x+3=3（x+1）²≥0恒成立，此时f（x）没有极值点，故不符合条件；
所以a=2，b=9．故④错误．
故选：A．

点评 考查了相关系数的概念，特称命题的否定，复合命题的真值表以及导数的应用，对第四个命题中利用导数求出a，b的值后需进行检验．