Question

20．定义在R上的函数f（x）满足：$f（{x+1}）=\frac{1}{f（x）}$，并且$x∈[{-1，1}]，f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+a，-1≤x＜0}\\{|{\frac{2}{5}-x}|，0≤x＜1}\end{array}}\right.$，若$f（{-\frac{5}{2}}）=f（{\frac{9}{2}}）$，则f（5a）=（　　）

• A． $\frac{7}{16}$
• B． $-\frac{2}{5}$
• C． $\frac{11}{16}$
• D． $\frac{13}{16}$

Answer 1

分析 由已知得f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}=f（x）$，从而f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}+a$，f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{2}{5}-\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{10}$，由$f（{-\frac{5}{2}}）=f（{\frac{9}{2}}）$，得a=$\frac{3}{5}$，由此能求出f（5a）．

解答 解：∵定义在R上的函数f（x）满足：$f（{x+1}）=\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+2）=$\frac{1}{f（x+1）}=f（x）$，
∵$x∈[{-1，1}]，f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{x+a，-1≤x＜0}\\{|{\frac{2}{5}-x}|，0≤x＜1}\end{array}}\right.$，
∴f（-$\frac{5}{2}$）=f（-$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}+a$，
f（$\frac{9}{2}$）=f（$\frac{1}{2}$）=|$\frac{2}{5}-\frac{1}{2}$|=$\frac{1}{10}$，
∵$f（{-\frac{5}{2}}）=f（{\frac{9}{2}}）$，
∴-$\frac{1}{2}+a=\frac{1}{10}$，解得a=$\frac{3}{5}$，
∴f（5a）=f（3）=f（-1）=-1+$\frac{3}{5}$=-$\frac{2}{5}$．
故选：B．

点评 本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．