题目内容

5．在△ABC中，D为BC边上的中点，P0是边AB上的一个定点，P0B=$\frac{1}{4}$AB，且对于AB上任一点P，恒有$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$，则下列结论中正确的是①②⑤（填上所有正确命题的序号）．
①当P与A，B不重合时，$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$与$\overrightarrow{PD}$共线；
②$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=$\overline{P{D}_{2}}$-$\overrightarrow{D{B}_{2}}$；
③存在点P，使|$\overrightarrow{PD}$|＜|$\overrightarrow{{P}_{0}D}$|；
④$\overrightarrow{{P}_{0}C}$•$\overrightarrow{AB}$=0；
⑤AC=BC．

分析 由题意画出图形，利用平面向量的加减运算及数量积运算逐一分析5个命题得答案．

解答 解：∵D为BC边的中点，∴$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=2$\overrightarrow{PD}$，故①正确；
$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DB}$）•（$\overrightarrow{PD}$+$\overrightarrow{DC}$）=$\overrightarrow{PD}$2-$\overrightarrow{DB}$2，故②正确；
由题意可得$\overrightarrow{{P}_{0}B}•\overrightarrow{{P}_{0}C}$=${\overrightarrow{{P}_{0}D}}^{2}-{\overrightarrow{DB}}^{2}$，由已知$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$≥$\overrightarrow{{P}_{0}B}$•$\overrightarrow{{P}_{0}C}$恒成立，
得${\overrightarrow{PD}}^{2}≥{\overrightarrow{{P}_{0}D}}^{2}$，即|$\overrightarrow{PD}$|≥|$\overrightarrow{{P}_{0}D}$|恒成立，故③错误；
注意到P0，D是定点，∴P0D是点D与直线上各点距离的最小值，则P0D⊥AB，故$\overrightarrow{{P}_{0}D}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
设AB中点为O，则CO∥P0D，故④错误；
再由D为BC的中点，CO为底边AB的中线，且CO⊥AB，∴△ABC是等腰三角形，有AC=BC，故⑤正确．
综上可知，①②⑤正确，
故答案为：①②⑤．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查命题的真假判断与应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．

练习册系列答案
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