Question

8．已知定义在R的函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是奇函数，其中a，b为实数
（1）求a，b的值
（2）用定义证明f（x）在R上是减函数
（3）若对于任意的t∈[-3，3]，不等式f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）依题意，由f（0）=0可求得b，再由f（1）+f（-1）=0可求得a的值；
（2）令x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$判定符号即可证明f（x）在R上是减函数；
（3）对于任意的t∈[-3，3]，不等式f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立，利用R上的奇函数f（x）单调递减的性质性可得t²-2t＞2t²-k恒成立，t∈[-3，3]，整理得k＞（t²-2t）_max，t∈[-3，3]，从而可求k的取值范围．

解答 解：（1）∵函数f（x）=$\frac{b-{2}^{x}}{{2}^{x}+a}$是R上的奇函数，
∴f（0）=$\frac{b-1}{1+a}$=0，∴b=1．
又f（1）+f（-1）=$\frac{1-2}{2+a}$+$\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+a}$=0，解得：a=1，
∴a=b=1．
（2）由（1）知，f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$=-1+$\frac{2}{{2}^{x}+1}$，
令x₁＜x₂，则${2}^{{x}_{1}}$＜${2}^{{x}_{2}}$，
∴f（x₁）-f（x₂）=$\frac{2}{{2}^{{x}_{1}}+1}$-$\frac{2}{{2}^{{x}_{2}}+1}$=$\frac{2{（2}^{{x}_{2}}{-2}^{{x}_{1}}）}{{（2}^{{x}_{1}}+1）{（2}^{{x}_{2}}+1）}$＞0，
∴f（x）在R上是减函数．
（3）∵对于任意的t∈[-3，3]，f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立，f（x）=$\frac{1-{2}^{x}}{{2}^{x}+1}$为奇函数，
∴f（t²-2t＜-f（-2t²+k）=f（2t²-k），
又f（x）在R上是减函数．
∴t²-2t＞2t²-k恒成立，t∈[-3，3]．
∴k＞（t²-2t）_max，又y=t²-2t的对称轴方程为t=1，∴t=-3时，函数取得最大值，即y_max=15，
∴k＞15，即k的取值范围为：（15，+∞）．

点评 本题考查函数恒成立问题，考查函数的奇偶性、单调性与最值的综合应用，突出等价转化思想与函数方程思想的考查，属于难题．