Question

如图，四面体P-ABC中，△PAB为边长为1的等边三角形，△PBC与△PAC均为斜边为PC的直角三角形，且PC=

3

．E、D分别为AB、PC的中点．
（1）求证：PE与AC不垂直；
（2）求异面直线PB与AD所成角的大小．

Answer 1

考点：反证法与放缩法,异面直线及其所成的角,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）假设PE与AC垂直，证明AC⊥平面PAB，推出AC⊥AB，通过CA=CB，证明CE⊥AB，得到AC∥CE，推出矛盾，得到PE与AC不垂直．
（2）取BC的中点为F，联结DF、AF，说明∠ADF为异面直线PB与AD所成角（或其补角，在△ABC中，求解异面直线PB与AD所成角的大小即可．

解答： 解：（1）假设PE与AC垂直，由已知可得：AC⊥PA，
又因为PA与PE在平面PAB内交于点P，∴AC⊥平面PAB-------------2’
AB

? ≠

平面PAB，∴AC⊥AB-------------------------------3’
又由已知可得：△PAC≌△PBC则可得：CA=CB--------------------4’
连结CE可得：CE⊥AB-----------------------------------5’
∴AC∥CE，显然与AC与CE相交矛盾，
∴PE与AC不垂直------------6’
（2）取BC的中点为F，联结DF、AF，
∵D、F分别为PC、BC的中点，
∴DF∥PB，
∴∠ADF为异面直线PB与AD所成角（或其补角）------------------------------8’
在△ABC中，AC=BC=

3-1

=

2

，AB=1，可得：cosB=

2

4

--------9’
∴AF=

1+ 1 2 -2•1• 2 2 • 2 4

=1------------10’
在△ADF中，AD=

3

2

，DF=

1

2

，
∵AD²+DF²=AF²，∴∠ADF=90°------11’
∴异面直线PB与AD所成角的大小为90°--------------------------------------------12’

点评：本题考查利用反证法证明直线与直线不垂直，异面直线所成角是求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力和计算能力．