Question

设函数f（x）=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx（x∈R）．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若函数y=f（x0的图象按b=（

π

4

，

3

2

）平移后得到函数y=g（x）的图象，求y=g（x）在（0，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化简，然后利用周期公式求周期；
（Ⅱ）由函数图象的平移得到函数y=g（x）的图象，再根据g（x）的单调性求得y=g（x）在（0，

π

4

]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sinxcosx-

3

cos（π+x）cosx
=

1

2

sin2x+

3

cos2x=

1

2

sin2x+

3

2

(1+cos2x)
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

．
故f（x）的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（Ⅱ）依题意g(x)=f(x-

π

4

)+

3

2

=sin[2(x-

π

4

)+

π

3

]+

3

2

+

3

2

=sin(2x-

π

6

)+

3

．
当x∈[0，

π

4

]时，2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，g（x）为增函数，
∴g（x）在[0，

π

4

]上的最大值为g(

π

4

)=

3 3

2

．

点评：本题考查了二倍角的正弦和余弦公式，考查了两角和与差的三角函数，考查了三角函数的值域的求法，是中档题．