题目内容
如图所示的几何体中，四边形ABCD为菱形，AMND是矩形，平面AMND⊥平面ABCD，∠DAB=60°，AD=2，AM=1．（Ⅰ）已知在AB边上存在点E，使AN∥平面MEC，请说出点E的位置并加以证明；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求二面角B-CM-E的余弦值．
考点：二面角的平面角及求法,直线与平面平行的判定
专题：空间位置关系与距离,空间角
分析：（Ⅰ）当E为AB的中点时，AN∥平面MEC．连结BN，设CM∩BN=F，连结EF，由已知得四边形BCNM为平行四边形，由此能证明AN∥平面MEC．
（Ⅱ）以OA，OB为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-CM-E的余弦值．
（Ⅱ）以OA，OB为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，利用向量法能求出二面角B-CM-E的余弦值．
解答：
解：（Ⅰ）当E为AB的中点时，AN∥平面MEC．
证明如下：
连结BN，设CM∩BN=F，连结EF，
∵四边形ABCD为菱形，AMND是矩形，∴MN∥AD∥BC，MN=AD=BC，
∴四边形BCNM为平行四边形，∴F为BN的中点，
又E为AB中点，∴AN∥EF，
∵EF?平面MEC，AN?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．
（Ⅱ）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，取AD中点O，连结BO，则BO⊥AD，
∵平面AMND⊥平面ABCD，交线为AD，∴BO⊥平面AMND，
以OA，OB为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
在菱形ABCD与矩形AMND中，AD=2，AM=1，
∴A（1，0，0），M（1，0，1），C（-2，
，0），
由（Ⅰ）知E是AB中点，E（
，
，0），
∴
=（-3，
，-1），
=（-2，0，0），
=（-
，
，0），
设平面BCM的一个法向量为
=（x，y，z），
则
，取y=1，得
=（0，1，
），
设平面ECM的一个法向量
=（a，b，c），
则
，
取a=
，得
=（
，5，2
），
∴cos＜
，
＞=
=
=
，
设二面角B-CM-E的平面角为θ，则cosθ=
，
∴二面角B-CM-E的余弦值为
．
证明如下：
连结BN，设CM∩BN=F，连结EF，
∵四边形ABCD为菱形，AMND是矩形，∴MN∥AD∥BC，MN=AD=BC，
∴四边形BCNM为平行四边形，∴F为BN的中点，
又E为AB中点，∴AN∥EF，
∵EF?平面MEC，AN?平面MEC，
∴AN∥平面MEC．
（Ⅱ）∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，
∴△ABD为等边三角形，取AD中点O，连结BO，则BO⊥AD，
∵平面AMND⊥平面ABCD，交线为AD，∴BO⊥平面AMND，
以OA，OB为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，
在菱形ABCD与矩形AMND中，AD=2，AM=1，
∴A（1，0，0），M（1，0，1），C（-2，
| 3 |
由（Ⅰ）知E是AB中点，E（
| 1 |
| 2 |
| ||
| 2 |
∴
| MC |
| 3 |
| BC |
| EC |
| 5 |
| 2 |
| ||
| 2 |
设平面BCM的一个法向量为
| n |
则
|
| n |
| 3 |
设平面ECM的一个法向量
| m |
则
|
取a=
| 3 |
| m |
| 3 |
| 3 |
∴cos＜
| n |
| m |
| ||||
|
|
| 5+6 | ||
2
|
11
| ||
| 40 |
设二面角B-CM-E的平面角为θ，则cosθ=
11
| ||
| 40 |
∴二面角B-CM-E的余弦值为
11
| ||
| 40 |
点评：本题考查使直线与平面平行的点的位置的确定与证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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| 3 |
| 2 |
| A、1 | ||
| B、2 | ||
C、2
| ||
| D、3 |
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