Question

若函数f（x）=log_a（x+

x2+2a2

）是奇函数，f（x）=sin（2x+θ）（0＜θ＜π），将y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位长度，所得图象关于y轴对称，则a²θ=

 

．

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：本题可先由奇函数的性质求出a的值，再由三角函数图象的平移后的特征得到θ满足的关系式，由θ的已知范围确定θ的值，从而得到本题的结论．

解答： 解：∵函数f（x）=log_a（x+

x2+2a2

）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）．
即loga(-x+

(-x)2+2a2

)=-loga(x+

x2+2a2

)对于定义域中的x恒成立．
∴(

x2+2a2

-x)(

x2+2a2

+x)=1，
∴a2=

1

2

．
∵f（x）=sin（2x+θ）（0＜θ＜π），
∴将y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位长度，得到的图象对应的函数为：y=sin[2(x+

π

6

)+θ]．
∵将y=f（x）的图象向左平移

π

6

个单位长度，所得图象关于y轴对称，
∴当x=0时，函数为：y=sin[2(x+

π

6

)+θ]=sin(

π

3

+θ)=±1．
∵0＜θ＜π，∴y=sin（

π

3

+θ）=1，
∴θ=

π

6

．
∴a2θ=

1

2

×

π

6

=

π

12

．
故答案为：

π

12

．

点评：本题考查了函数奇偶性和三角函数图象的平移知识，思维量不太大，属于中档题．