题目内容
定义在R上的f（x）是奇函数，当x∈（0，+∞）时，f（x）=x2+x-1
（1）求f（x）的表达式
（2）证明：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
（1）求f（x）的表达式
（2）证明：f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
考点：函数单调性的判断与证明,函数解析式的求解及常用方法
专题：函数的性质及应用
分析：（1）根据函数奇偶性的性质，利用对称性即可求f（x）的表达式
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在这间（0，+∞）上是增函数．
（2）根据函数单调性的定义即可证明f（x）在这间（0，+∞）上是增函数．
解答：
解：（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f（0）=0，
若x（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=x2+x-1，
∴f（-x）=x2-x-1，
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=x2-x-1=-f（x），
故此时f（x）=-x2+x+1，
即f（x）=
．
（2）证明：设x1＞x2＞0，
则f（x1）-f（x2）=x12+x1-1-（x22+x2-1）=x12-x22+x1-x2=（x1-x2）（x1+x2+1），
∵x1＞x2＞0，
∴x1-x2＞0，x1+x2＞0
即f（x1）-f（x2）＞0
f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
若x（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∵当x∈（0，+∞）时，f（x）=x2+x-1，
∴f（-x）=x2-x-1，
∵f（x）是奇函数，
∴f（-x）=x2-x-1=-f（x），
故此时f（x）=-x2+x+1，
即f（x）=
|
（2）证明：设x1＞x2＞0，
则f（x1）-f（x2）=x12+x1-1-（x22+x2-1）=x12-x22+x1-x2=（x1-x2）（x1+x2+1），
∵x1＞x2＞0，
∴x1-x2＞0，x1+x2＞0
即f（x1）-f（x2）＞0
f（x1）＞f（x2），
∴f（x）在区间（0，+∞）上是增函数．
点评：本题主要考查函数单调性的判断和证明以及函数解析式的求解，利用定义法是解决本题的关键．要求熟练掌握函数奇偶性的应用．
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