Question

如图△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，AE=AB=2a，CD=a，F为BE中点．
（1）求证：DF∥面ABC．
（2）求证：AF⊥BD．
（3）求以A，B，D，E为顶点的四面体体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的性质

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）要证DF∥平面ABC，只要证DF平行于平面ABC内的一条直线，取AB中点N，连结FN，NC，可证四边形DCNF为平行四边形，则答案得证；
（2）要证明AF⊥BD，可证明BF为BD在平面ABE上的射影，即证DF⊥面ABE，也就是证CN⊥面ABE，由线面垂直的判定得答案；
（3）利用V_A-BDE=

1

3

S△BDE•AF，可求以A，B，D，E为顶点的四面体体积．

解答： （1）证明：如图，
取AB中点N，连结FN，NC，
∵F为BE的中点，∴FN为△ABE的中位线，∴FN∥AE，FN=

1

2

AE，
又AE、CD都垂直于面ABC，2CD=AE，∴AE∥CD，∴CD∥FN且CD=FN，
∴四边形CDFN为平行四边形，∴DF∥CN，
又DF?面ABC，CN?面ABC，∴DF∥面ABC；
（2）证明：∵AE=AB，F是BE的中点，在△ABC中，N是AB的中点，
∴AF⊥BE，CN⊥AB，
∵AE⊥面ABC，AE?面ABE，
∴面ABE⊥面ABC，
又CN⊥AB，∴CN⊥面ABE，
∴DF⊥面ABE，∴DB在平面ABE的射影为BF，
∴AF⊥BD；
（3）解：∵AE=AB=2a，CD=a，F为BE中点，
∴V_A-BDE=

1

3

S△BDE•AF=

1

3

•

1

2

•BE•DF•AF=

2 3

3

a3．

点评：本题考查了直线与平面平行的判定，考查了直线与平面垂直的性质，考查锥体体积的计算，考查了学生的空间想象和思维能力，是中档题．