Question

4．已知函数f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）在x=3处取得极值0．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）已知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函数y=f（x），x∈[1，3]图象上两个不同的点，且$|{{x_1}-{x_2}}|=\sqrt{3}$，图象在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点处的切线的斜率分别为k₁，k₂，证明：$\sqrt{|{{k_1}{k_2}}|}≤3（{1-\frac{m}{4}}）$．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于a，b的方程组，解出即可．
（2）求出$\sqrt{{{|k}_{1}k}_{2}|}$的解析式，根据基本不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{f（3）=0}\\{f′（3）=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-6}\\{b=9}\end{array}\right.$，
故f（x）=x³-6x²+9x；
（2）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
∵1≤x_i≤3（i=1，2），
故x_i-1≥0，3-x_i≥0，（i=1，2），k₁≤0，k₂≤0，
$\sqrt{{{|k}_{1}k}_{2}|}$=$\sqrt{[3{（x}_{1}-1）{（x}_{1}-3）][3{（x}_{2}-1）{（x}_{2}-3）]}$
=3$\sqrt{{（x}_{1}-1）（3{-x}_{2}）}$•$\sqrt{{（x}_{2}-1）（3{-x}_{1}）}$
≤3•$\frac{{（x}_{1}-1）+（3{-x}_{2}）}{2}$•$\frac{{（x}_{2}-1）+（3{-x}_{1}）}{2}$
=3•$\frac{4{-{（x}_{1}{-x}_{2}）}^{2}}{4}$=3（1-$\frac{m}{4}$）．
∴$\sqrt{|{{k_1}{k_2}}|}≤3（{1-\frac{m}{4}}）$．

点评 本题考查函数解析式的求法，考查不等式的证明，考查导数的性质及应用等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．