Question

以下说法正确的有

 

（填正确的序号）．
①一个函数f（x）若在x=x₀处的导数为零，则这个函数f（x）在x=x₀处一定取得极值．
②定积分S=

∫

b a

f(x)dx的几何意义就是函数f（x）的曲线与直线x=a，x=b以及x轴所围成图形的面积．
③函数f（x）在闭区间[a，b]上的极大值就是最大值，极小值就是最小值．
④归纳推理和类比推理都是两种合情推理，通过这两种方法推理所得到的结论不一定正确．
⑤若x＞2，则x+

1

x

的最小值是

5

2

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：阅读型,导数的综合应用,不等式的解法及应用,推理和证明

分析：①比如y=x³，y′=3x²，y′=0解得x=0，验证x=0，是否极值点，即可判断；
②在区间[a，b]上函数f（x）连续且恒有f（x）≥0，由定积分

∫

b a

f（x）dx的几何意义，即可判断；
③比如求f（x）=x³-x²-x，在[-2，2]上的最值，即可判断；
④归纳推理和类比推理都是两种合情推理，由它们的特点，即可判断；
⑤若x＞2，求出函数x+

1

x

的导数，由导数的符号即可判断单调性，从而得到值域，即可判断．

解答： 解：①比如y=x³，y′=3x²，y′=0解得x=0，在x=0处附近y′左正右正，不为极值点，故①错；
②在区间[a，b]上函数f（x）连续且恒有f（x）≥0，那么定积分

∫

b a

f（x）dx表示
由直线x=a，x=b（a≠b），y=0和曲线y=f（x）所围成的曲边梯形的面积．故②错；
③函数f（x）在闭区间[a，b]上的极大值不一定是最大值，极小值不一定是最小值．
比如f（x）=x³-x²-x，f′（x）=3x²-2x-1，令f′（x）=0，即3x²-2x-1=0，解得，x=-

1

3

，或x=1，
又当x＞1时，f′（x）＞0，当-

1

3

＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＜-

1

3

时，f′（x）＞0，
则函数在x=-

1

3

时有极大值为f（-

1

3

）=

5

27

，函数在x=1时有极小值为f（1）=-1，f（2）=2，f（-2）=-10．
故函数有最大值为2，有最小值为-10，均不为极值．故③错；
④归纳推理和类比推理都是两种合情推理，归纳推理是由特殊到一般的推理；类比推理是由特殊到特殊的推理，通过这两种方法推理所得到的结论不一定正确，有待进一步验证，故④正确；
⑤若x＞2，则函数x+

1

x

的导数为1-

1

x2

＞0，故函数为增函数，值域为（2.5，+∞），故⑤错．
故答案为：④．

点评：本题考查导数的运用：求极值和最值，考查极值存在的条件和极值与最值的关系，以及归纳和类比推理的相同点，同时考查基本不等式的运用：求最值，属于易错题．