Question

设命题p：存在x∈R，使得a≥2sinx+1；命题q：任意x∈（0，+∞），不等式a≤

1

x

+x恒成立，
（1）写出“非p”命题，并判断“非p”是q成立的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件）；
（2）若“p或q”为真“p且q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：简易逻辑

分析：（1）求出命题￢p时a的取值范围与命题q为真时a的取值范围，即可判断￢p是q成立的什么条件；
（2）“p或q”为真、“p且q”为假时，得p真q假，或p假q真，从而求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵命题p：存在x∈R，使得a≥2sinx+1，
∴命题￢p：?x∈R，都有a＜2sinx+1；
∴a＜（2sinx+1）_min=-2+1，即a＜-1；
又∵命题q：任意x∈（0，+∞），不等式a≤

1

x

+x恒成立，
∴a≤(

1

x

+x)min=2，即a≤2；
∴￢p是q成立的充分不必要条件；
（2）当“p或q”为真、“p且q”为假时，
得p真q假，或p假q真两种情况；
∴p真q假时，

a≥-1 a＞2

，解得a＞2；
p假q真时，

a＜-1 a≤2

，解得a＜-1；
∴实数a的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．

点评：本题考查了复合命题真假的判断问题，也考查了命题的否定以及充分与必要条件的判断问题，是综合性题目．