Question

不等式组

x-y+2≥0 x+y+2≥0 2x-y-2≤0

所确定的平面区域记为D．若点（x，y）是区域D上的点．
（1）求2x+y的最大值；
（2）若圆O：x²+y²=r²上的所有点都在区域D上，求圆O的面积的最大值．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：数形结合,不等式的解法及应用

分析：由约束条件作出可行域．
（1）设z=2x+y，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数求得2x+y的最大值；
（2）把求圆面积的最大值转化为求圆的直径的最大值，进一步转化为求原点到直线2x-y-2=0的距离．

解答： 解：由约束条件

x-y+2≥0 x+y+2≥0 2x-y-2≤0

作差平面区域D如图，

（1）联立

x-y+2=0 2x-y-2=0

，解得

x=4 y=6

，即C（4，6）
设z=2x+y，化为直线方程的斜截式为y=-2x+z，
由图可知，当直线y=-2x+z过C时，直线在y轴上的截距最大，z最大，等于2×4+6=14；
（2）要使圆O：x²+y²=r²上的所有点都在区域D上，则圆的半径的最大值为O（0，0）到直线2x-y-2=0的距离，等于

|-2|

22+(-1)2

=

2 5

5

．
∴圆O的面积的最大值S=π•(

2 5

5

)2=

4

5

π．

点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，考查了数学转化思想方法，是中档题．