Question

15．对某产品1至6月份销售量及其价格进行调查，其售价和销售量之间的一组数据如下表所示：

月份	1	2	3	4	5	6
单价x（元）	9	9.5	10	10.5	11	8
销售量y（件）	11	10	8	6	5	14

（1）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）根据（1）的回归方程计算6月份的残差估计值；
（3）预计在今后的销售中，销售量与单价仍然服从（1）中的关系，且该产品的成本是2.5元/件，为获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？（利润=销售收入-成本）
（参考公式：$\widehat{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$）（参考数据：$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=392，$\sum_{i=1}^{5}{{x}_{i}}^{2}$=502.5）

Answer 1

分析 （1）根据回归系数公式计算回归方程即可；
（2）利用回归方程计算x=6时的估计值，计算误差得出结论；
（3）求出利润的解析式，根据二次函数的性质得出利润取最值时的x．

解答 解：（1）由题意知$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$×（9+9.5+10+10.5+11）=10，
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$×（11+10+8+6+5）=8，$\widehat{b}$=$\frac{392-5×10×8}{502.5-5×102}$=-3.2，
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=40．
∴y关于x的回归直线方程是$\widehat{y}$=-3.2x+40．
（2）由（1）知，当x=6时，$\widehat{y}$=-3.2×6+40=20.8，
$\widehat{y}$-y=20.8-14=6.8；
（3）依题意，利润L=（x-2.5）（-3.2x+40）=-3.2x²+48x-100（2.5＜x＜12.5），
所以当x=7.5时，利润最大
所以该产品定价为7.5元时，利润最大．

点评 本题考查了线性回归方程的解法，数值估计，二次函数的最值，属于中档题．