Question

6．如图，一条巡逻船由南向北行驶，在A处测得山顶P在北偏东15°（∠BAC=15°）方向上，匀速向北航行20分钟到达B处，测得山顶P位于北偏东60°方向上，此时测得山顶P的仰角60°，若山高为$2\sqrt{3}$千米，
（1）船的航行速度是每小时多少千米？
（2）若该船继续航行10分钟到达D处，问此时山顶位于D处的南偏东什么方向？

Answer 1

分析 （1）解△BCP，利用BCP中，$tan∠PBC=\frac{PC}{BC}⇒BC=2$，在△ABC中，由正弦定理求得；
（2）利用正弦定理和余弦定理，分别解△BCD，求得∠CDB．

解答 解：（1）在△BCP中，$tan∠PBC=\frac{PC}{BC}⇒BC=2$
在△ABC中，由正弦定理得：$\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AB}{sin∠BCA}⇒\frac{2}{{sin{{15}^0}}}=\frac{AB}{{sin{{45}^0}}}$，
所以$AB=2（\sqrt{3}+1）$，
船的航行速度是每小时$6（\sqrt{3}+1）$千米．
（2）在△BCD中，由余弦定理得：$CD=\sqrt{6}$，
在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠DBC}=\frac{B}{sin∠CDB}⇒sin∠CDB=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，
所以，山顶位于D处南偏东135⁰．

点评 本题考查了利用正弦定理和余弦定理解三角形，关键是将实际问题转化为解三角形的问题，属于中档题．