Question

3．已知正数m，n的等比中项是2，且$a=m+\frac{1}{n}$，$b=n+\frac{1}{m}$，则a+b的最小值是（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 正数m，n的等比中项是2，可得mn=4，n=$\frac{4}{m}$．代入$a=m+\frac{1}{n}$，$b=n+\frac{1}{m}$，利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：正数m，n的等比中项是2，∴mn=4．可得n=$\frac{4}{m}$．
又$a=m+\frac{1}{n}$，$b=n+\frac{1}{m}$，
则a+b=m+n+$\frac{1}{m}+\frac{1}{n}$=m+$\frac{4}{m}$+$\frac{m}{4}$+$\frac{1}{m}$=5$（\frac{1}{m}+\frac{m}{4}）$≥5×$2\sqrt{\frac{1}{m}×\frac{m}{4}}$=5，当且仅当m=n=2时取等号．
故选：B．

点评 本题考查了基本不等式的性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．