题目内容
设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a＞b＞c）且f（1）=0且存在实数m使f（m）=-a，试推理f（x）在[0，+∞）上是否为单调．
考点：二次函数的性质
专题：函数的性质及应用
分析：由f（m）=-a即知方程ax2+bx+c+a=0有实数根，所以△=b2-4a（a+c）≥0，而由f（1）=0容易得到a＞0，c＜0，a+b＞0，以及a+c=-b，所以△=b（4a+b）≥0，所以可判断出b≥0，所以f（x）的对称轴x=-
≤0，所以便得到f（x）在[0，+∞）上单调递增．
| b |
| 2a |
解答：
解：∵存在实数m使f（m）=-a；
∴方程ax2+bx+c+a=0有实根；
∴△=b2-4a（a+c）≥0 ①；
∵f（1）=0；
∴a+b+c=0，又a＞b＞c；
∴a＞0，c＜0；
∴将a+c=-b带入①得：
b2+4ab=b（4a+b）≥0；
∵a+b=-c＞0，a＞0；
∴4a+b＞0；
∴b≥0；
∴-
≤0，x=-
是f（x）的对称轴；
∴函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
∴方程ax2+bx+c+a=0有实根；
∴△=b2-4a（a+c）≥0 ①；
∵f（1）=0；
∴a+b+c=0，又a＞b＞c；
∴a＞0，c＜0；
∴将a+c=-b带入①得：
b2+4ab=b（4a+b）≥0；
∵a+b=-c＞0，a＞0；
∴4a+b＞0；
∴b≥0；
∴-
| b |
| 2a |
| b |
| 2a |
∴函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
点评：考查一元二次方程有实根时判别式△的取值情况，二次函数的对称轴，及二次函数的单调性．
练习册系列答案
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A、
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B、
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C、
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D、
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