Question

已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，F₁，F₂分别为左、右焦点，离心率为e，半长轴长为a．
（1）若焦距长2c=2，且1、e、

1

4

成等比数列，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l：ex-y+a=0与x轴、y轴分别相交于M、N 两点，p是直线l与椭圆C的一个交点，且

MP

=λ

MN

，求λ的值；
（3）若不考虑（1），在（2）中，求λ的取值范围．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），由已知得2c=2，e=

c

a

=

1

2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设P（x，y），则

y= 1 2 x+2 x2 4 + y2 3 =1

，解得P(-1，

3

2

)．由此利用已知条件能求出λ．
（3）因为M、N的坐标分别为（-

a

e

，0）、（0，a），由

ex-y+a=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，得P（-c，

b2

a

）．由

MP

=λ

MN

，得λ=1-e²．由此能求出λ的取值范围．

解答： 解：（1）设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），
∵焦距长2c=2，且1、e、

1

4

成等比数列，∴e²=

1

4

，
解得e=

c

a

=

1

2

，
解得a=2，b=

3

，故椭圆C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1…..（4分）
（2）设P（x，y），则

y= 1 2 x+2 x2 4 + y2 3 =1

，解得P(-1，

3

2

)．
∵M（-4，0），N（0，2），

MP

=λ

MN

，
∴（3，

3

2

）=λ（4，2）=（4λ，2λ），
解得λ=

3

4

．…（8分）
（3）因为M、N的坐标分别为（-

a

e

，0）、（0，a），
由

ex-y+a=0 x2 a2 + y2 b2 =1

，解得

x=-c y= b2 a

，（其中c=

a2-b2

），
所以P（-c，

b2

a

）．
由

MP

=λ

MN

，得（-c+

a

e

，

b2

a

）=λ（

a

e

，a），
所以

a e -c=λ• a e b2 a =λa

，所以λ=1-e²．
因为e∈（0，1），所以1-e²∈（0，1）．
故λ的取值范围是（0，1）．…（13分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数值的求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．