Question

已知函数f（x）=

lnx

x

-1
（Ⅰ）求函数f（x）在区间[1，e²]上的最值；
（Ⅱ）证明：对任意n∈N⁺，不等式ln（

n+1

n

）^e＜

n+1

n

都成立（其中e为自然对数的底数）

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,函数单调性的性质

专题：计算题,证明题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导f′（x）=

1-lnx

x2

；由导数的正负确定函数的单调性，从而求最值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，令F（x）=

lnx

x

，则F（x）=

lnx

x

在[1，e）上单调递增，在（e，e²]上单调递减且F（x）＜

1

e

，（x＞1）；从而可得elnx＜x，从而证明．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

lnx

x

-1，∴f′（x）=

1-lnx

x2

；
当x∈[1，e）时，f′（x）＞0，
当x∈（e，e²]时，f′（x）＜0；
故f（x）在[1，e）上单调递增，在（e，e²]上单调递减；
且f（1）=0-1=-1；f（e）=

1

e

-1＜0，f（e²）=

2

e2

-1＜

1

e

-1；
故函数f（x）在区间[1，e²]上的最小值为-1；
最大值为

1

e

-1；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，令F（x）=

lnx

x

；
则F（x）=

lnx

x

在[1，e）上单调递增，在（e，e²]上单调递减；
且F（x）＜

1

e

，（x＞1）；
故

lnx

x

＜

1

e

，（x＞1）；
故elnx＜x；
令x=

n+1

n

得，
eln

n+1

n

＜

n+1

n

；
故对任意n∈N⁺，不等式ln（

n+1

n

）^e＜

n+1

n

都成立（其中e为自然对数的底数）．

点评：本题考查了导数的综合应用，属于中档题．