题目内容

已知数列an的前项和Sn=2n+2-4(n∈N*)，函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）+f（1-x）=1，数列{bn}满足bn=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）…+f（
n-1
n
）+f（1）．
（1）分别求数列{an}、{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn=an•bn，Tn是数列{cn}的前项和，是否存在正实数k，使不等式k（n2-9n+26）Tn＞4ncn对于一切的n∈N*恒成立？若存在请指出k的取值范围，并证明；若不存在请说明理由．
（1）∵Sn=2n+2-4(n∈N*)，
∴n=1，a1=S1=21+2-4=4…（1分）
n≥2，an=Sn-Sn-1=(2n+2-4)-(2n+1-4)=2n+1，
n=1时满足上式，
∴an=2n+1(n∈N*)…（2分）
∵f（x）+f（1-x）=1，
∴f(
1
n
)+f(
n-1
n
)=1，…（3分）
∵bn=f（0）+f（
1
n
）+f（
2
n
）…+f（
n-1
n
）+f（1），①
∴bn=f(1)+f(
n-1
n
)+f(
n-2
n
)+…+f（1）+f（0），②
∴①+②，得2bn=n+1∴bn=
n+1
2
．…（5分）
（2）∵cn=an•bn，
∴cn=(n+1)•2n…（6分）
∴Tn=2•21+3•22+4•23+…+(n+1)•2n，①
2Tn=2×22+3×23+4×24+…+（n+1）×2n+1，②
①-②，得-Tn=4+22+23+…+2n-(n+1)•2n+1…（8分）
即Tn=n•2n+1…（9分）
要使得不等式k（n2-9n+26）Tn＞4ncn恒成立，
∵（n2-9n+26）Tn＞0恒成立，
∴k＞
4ncn
(n2-9n+26)Tn
对于一切的n∈N*恒成立，
即k＞
2(n+1)
n2-9n+26
…（11分）
令g(n)=
2(n+1)
n2-9n+26
(n∈N*)，
则g(n)=
2(n+1)
(n+1)2-11(n+1)+36
=
2
(n+1)-11+
36
(n+1)
≤
2
2
(n+1)•
36
(n+1)
-11
=2
当且仅当n=5时等号成立，
∴g（n）max=2…（13分）
所以k＞2为所求．…（14分）
练习册系列答案
相关题目
已知等差数列{an}（n∈N*）的前n项和为Sn，且a3=5，S3=9．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设等比数列{bn}（n∈N*），若b2=a2，b3=a5，求数列{bn}的前n项和Tn．
数列{an}的前n项和Sn，a1=1，an+1=2Sn．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=log3an，求数列{bn}的前n项和Tn．
已知数列{an}中，a1=2，点（an-1，an）满足y=2x-1，则a1+a2+…+a10=______．
已知数列{an}满足：a1=a+2（a≥0），an+1=
an+a
，n∈N*．
（1）若a=0，求数列{an}的通项公式；
（2）设bn=|an+1-an|，数列的前n项和为Sn，证明：Sn＜a1．
已知：数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an-n，（n∈N*）．
（Ⅰ）求：a1，a2的值；
（Ⅱ）求：数列{an}的通项公式；
（Ⅲ）若数列{bn}的前n项和为Tn，且满足bn=nan，（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
数列{an}的前n项和Sn=2n-1，数列{bn}是以a1为首项，公差为d（d≠0）的等差数列，且b1，b3，b9成等比数列．
（1）求数列{an}与{bn}的通项公式
（2）若cn=an+bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
设数列{an}的前n项和为Sn=10n-n2，则|a1|+|a2|+…+|a15|等于（　　）
A．150B．135C．125D．100
在数列{an}中，a1=1，an+2+（-1）nan=2，记Sn是数列{an}的前n项和，则S60=______．

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